COMO LOS ATOMOSde la aritmética, los números primos siempre han ocupado un lugar especial en la recta numérica. Ahora, Jared Duker Lichtman , un estudiante graduado de 26 años de la Universidad de Oxford, ha resuelto una conocida conjetura, estableciendo otra faceta de lo que hace que los números primos sean especiales y, en cierto sentido, incluso óptimos. “Te da un contexto más amplio para ver de qué manera los números primos son únicos y de qué manera se relacionan con el universo más grande de conjuntos de números”, dijo.
La conjetura trata con conjuntos primitivos, secuencias en las que ningún número divide a otro. Dado que cada número primo solo se puede dividir por 1 y por sí mismo, el conjunto de todos los números primos es un ejemplo de un conjunto primitivo. También lo es el conjunto de todos los números que tienen exactamente dos o tres o 100 factores primos.
Los conjuntos primitivos fueron introducidos por el matemático Paul Erdős en la década de 1930. En ese momento, eran simplemente una herramienta que le facilitaba probar algo sobre cierta clase de números (llamados números perfectos) con raíces en la antigua Grecia. Pero rápidamente se convirtieron en objetos de interés por derecho propio, a los que Erdős volvería una y otra vez a lo largo de su carrera.
Eso es porque, aunque su definición es bastante sencilla, los conjuntos primitivos resultaron ser bestias realmente extrañas. Esa extrañeza podría capturarse simplemente preguntando qué tan grande puede llegar a ser un conjunto primitivo. Considere el conjunto de todos los enteros hasta 1,000. Todos los números del 501 al 1000, la mitad del conjunto, forman un conjunto primitivo, ya que ningún número es divisible por otro. De esta forma, los conjuntos primitivos podrían comprender una parte considerable de la recta numérica. Pero otros conjuntos primitivos, como la secuencia de todos los números primos, son increíblemente escasos. “Te dice que los conjuntos primitivos son realmente una clase muy amplia que es difícil de tener en tus manos directamente”, dijo Lichtman.
Para capturar propiedades interesantes de los conjuntos, los matemáticos estudian varias nociones de tamaño. Por ejemplo, en lugar de contar cuántos números hay en un conjunto, podrían hacer lo siguiente: para cada número n en el conjunto, introdúzcalo en la expresión 1/( n log n ) y luego sume todos los resultados. El tamaño del conjunto {2, 3, 55}, por ejemplo, se convierte en 1/(2 log 2) + 1/(3 log 3) + 1/(55 log 55).
Erdős descubrió que para cualquier conjunto primitivo, incluidos los infinitos, esa suma, la “suma de Erdős”, siempre es finita. No importa cómo se vea un conjunto primitivo, su suma de Erdő siempre será menor o igual a algún número. Y aunque esa suma “parece, al menos a primera vista, completamente ajena y vaga”, dijo Lichtman, de alguna manera “controla parte del caos de los conjuntos primitivos”, lo que la convierte en la vara de medir adecuada.
Con este palo en la mano, la siguiente pregunta natural es cuál podría ser la suma de Erdő máxima posible. Erdős conjeturó que sería el de los números primos, que resulta alrededor de 1,64. A través de esta lente, los números primos constituyen una especie de extremo.
Durante décadas, los matemáticos hicieron progresos parciales hacia una prueba. Demostraron, por ejemplo, que la conjetura era cierta para tipos particulares de conjuntos primitivos.
Aun así, “sentí que no estábamos tan cerca de él antes de que Jared comenzara a trabajar en él”, dijo Greg Martin , matemático de la Universidad de Columbia Británica que ha trabajado en problemas relacionados. András Sárközy , matemático de la Universidad Eötvös Loránd de Hungría y colaborador frecuente de Erdős, estuvo de acuerdo. “Ciertamente parecía fuera de alcance”, dijo.
Lichtman comenzó a trabajar en la conjetura del conjunto primitivo en 2018, durante su último año como estudiante universitario en Dartmouth College. “Esta pregunta me fascinó de inmediato. Era muy misterioso cómo algo como esto sería cierto”, dijo. “Ha sido mi compañero constante durante los últimos cuatro años”.
En 2019, él y Carl Pomerance , su asesor en Dartmouth, quien, según Lola Thompson , matemática de la Universidad de Utrecht y ex alumna de Pomerance, esencialmente “salió de su retiro para trabajar con él”, descubrió que Erdős de un conjunto primitivo la suma no puede ser mayor que alrededor de 1,78. “No está demasiado lejos”, dijo Martin. “Solo alrededor de un 10 por ciento más grande que la conjetura de los números primos”.
Lichtman y Pomerance obtuvieron esta constante asociando una nueva secuencia de múltiplos a cada número en un conjunto primitivo dado. Considere nuevamente el conjunto primitivo {2, 3, 55}. Asociada al número 2 estaría la secuencia de todos los números pares. Asociados al número 3 estarían todos los múltiplos de 3 que no son también múltiplos de 2. Y asociados al número 55 (5 × 11) estarían todos los múltiplos de 55 tales que el factor primo más pequeño del multiplicador, el número que multiplica 55—es 11 (por lo tanto excluyendo todos los multiplicadores divisibles por 2, 3, 5 y 7). Lichtman lo compara con la forma en que se indexan las palabras en un diccionario, solo que se usan números primos en lugar de letras para organizar cada secuencia.
Él y Pomerance luego pensaron en cuán “densas” eran estas secuencias de múltiplos, es decir, qué parte de la recta numérica ocupaban. (Por ejemplo, la secuencia de todos los números pares tiene una densidad de 1/2, ya que los números pares constituyen la mitad de todos los números). Observaron que si el conjunto original era primitivo, entonces sus secuencias asociadas de múltiplos no se superpondrían, y por lo tanto su densidad combinada era a lo sumo 1, la densidad de todos los números enteros.
Esta observación fue relevante porque un teorema del siglo XIX del matemático Franz Mertens esencialmente permitió a Lichtman y Pomerance reinterpretar la suma de Erdős de un conjunto primitivo en términos de estas densidades. Según el teorema de Mertens, una constante especial (aproximadamente igual a 1,78), cuando se multiplica por un término equivalente a las densidades combinadas de estos múltiplos, da un valor máximo de lo que podría ser la suma de Erdő de un conjunto primitivo. Y dado que la densidad combinada era como máximo 1, Lichtman y Pomerance demostraron que la suma de Erdő de un conjunto primitivo era como máximo alrededor de 1,78.
“Era una variación de las ideas originales de Erdős, pero era una forma muy ingeniosa y ordenada… de obtener un límite superior no ajustado pero tampoco tan malo”, dijo James Maynard , matemático de Oxford.
Y durante unos años, eso parecía lo mejor que podían hacer los matemáticos. No estaba claro cómo reducir ese máximo a 1,64. Mientras tanto, Lichtman se graduó y se mudó a Oxford para hacer su doctorado con Maynard, donde ha estado trabajando principalmente en otros problemas relacionados con los números primos.
“Sabía que había estado pensando mucho sobre este problema”, dijo Maynard, “pero fue un completo shock cuando de repente, aparentemente de la nada, se le ocurrió una prueba completa”.
Lichtman primero se dio cuenta de que para números con factores primos relativamente pequeños, su argumento anterior con Pomerance todavía podía funcionar: era relativamente sencillo demostrar que en este caso, la constante 1,78 podía reducirse muy por debajo de 1,64.
Pero los números con factores primos relativamente grandes, que están “cerca” de los números primos en cierto sentido, eran otra historia. Para lidiar con ellos, Lichtman encontró una forma de asociar no solo una secuencia de múltiplos a cada número, sino varias secuencias. Como antes, la densidad combinada de todas esas secuencias era como máximo 1. Pero esta vez, “estos otros múltiplos crecerán como malas hierbas y ocuparán parte del espacio”, dijo Lichtman.
Tome el número 618 (2 × 3 × 103). Por lo general, puede asociarlo con todos los múltiplos de 618 de modo que la factoría prima más pequeña del multiplicador sea 103. Pero, en cambio, las secuencias podrían construirse utilizando algunos de los factores primos más pequeños que se omitieron. Por ejemplo, una secuencia puede constar de todos los múltiplos originales, al mismo tiempo que permite múltiplos de 618 donde el multiplicador es divisible por 5. (Algunas restricciones dictan qué factores primos más pequeños se pueden usar).
La presencia de estos múltiplos adicionales significaba que la densidad combinada de los múltiplos originales, la cantidad que se usa en el teorema de Mertens, era en realidad menor que 1. Lichtman encontró una manera de establecer un límite más preciso sobre cuál podría ser esa densidad.
Luego, determinó cuidadosamente cómo sería el peor de los casos para un conjunto primitivo: qué equilibrio lograría entre números con factores primos grandes y números con factores primos pequeños. Al unir las dos partes de su prueba, pudo demostrar que la suma de Erdős para tal escenario resulta en un valor inferior a 1,64.
“Existe este momento numérico de la verdad”, dijo Maynard. “No sé si es suerte o qué, que esto sea numéricamente suficiente”.
Lichtman publicó su prueba en línea en febrero. Los matemáticos señalaron que el trabajo es particularmente sorprendente porque se basa completamente en argumentos elementales. “No era como si estuviera esperando que se desarrollara toda esta maquinaria loca”, dijo Thompson. “Simplemente tuvo algunas ideas realmente inteligentes”.
Esas ideas ahora han cimentado a los números primos como excepcionales entre los conjuntos primitivos: su suma de Erdős reina suprema. “Todos pensamos en los números primos como especiales”, dijo Pomerance. “Y esto simplemente aumenta su brillo”.